算法复杂度及渐进符号

一、算法复杂度

首先每个程序运行过程中,都要占用一定的计算机资源,比如内存,磁盘等,这些是空间,计算过程中需要判断,循环执行某些逻辑,周而反复,这些是时间。

那么一个算法有多好,多快,怎么衡量一个算法的好坏?所以,计算机科学在算法分析过程中,提出了算法复杂度理论,这套理论可以量化算法的效率,以此作为标准,方便我们能衡量到底选择哪一种算法。

复杂度有两个维度:时间和空间。

我们说,一个实现了某算法的程序:

  1. 如果计算的速度越快,那么这个算法时间复杂度越低。
  2. 如果占用的计算资源越少,那么空间复杂度越低。

我们要选择复杂度低的算法,衡量好空间和时间的消耗,选出适合特定场景的算法。

这两个复杂度维度的量化过程都是一样的,所以我们这里主要介绍时间复杂度。

二、算法规模

我们要计算公式 1 + 2 + 3 + ... + 100,那么按照最直观的算法来写:

package main

import "fmt"

func sum(n int) int {
    total := 0
    // 从1加到N, 1+2+3+4+5+..+N
    for i := 1; i <= n; i++ {
        total = total + i
    }
    return total
}

func main() {
    fmt.Println(sum(100))
}

n = 10 时就等于我们要计算的公式。这个算法要循环 n-1 次,当 n 很小时,计算很快,但当 n 无限大的时候,计算很慢。

所以,算法衡量要衡量的是在不同 问题规模 n 下,算法的速度。

在这里,因为要循环计算 n-1 次,而当 n 无限大时,常数项基本忽略不计,所以这个算法的时间复杂度,我们用 O(n) 来表示。

我们有另外一种计算方式:

func sum2(n int) int {
    total := ((1 + n) * n) / 2
    return total
}

这次算法只需执行 1 次,所以这个算法的时间复杂度是 O(1)。可以看出,时间复杂度为 O(1) 的算法优于复杂度为 O(n) 的算法。

当然,还有指数级别的比如之前的汉诺塔算法,对数级别的,阶乘级别的复杂度,如 O(2^n)O(n!)O(logn) 等。

算法的优先级排列如下,一般排在上面的要优于排在下面的:

  1. 常数复杂度:O(1)
  2. 对数复杂度:O(logn)
  3. 一次方复杂度:O(n)
  4. 一次方乘对数复杂度:O(nlogn)
  5. 乘方复杂度:O(n^2)O(n^3)
  6. 指数复杂度:O(2^n)
  7. 阶乘复杂度:O(n!)
  8. 无限大指数复杂度:O(n^n)

三、渐进符号

如何量化一个复杂度,到底有多复杂,计算机科学抽象出了几个复杂度渐进符号。

渐进符号如下:

OοΘΩω

分别读作:Omicron(大欧),omicron(小欧),Theta(西塔),Omega(大欧米伽),omega(小欧米伽)。

3.1. 渐进符号:Θ

假设算法 A 的运行时间表达式:

T(n)= 5 * n^3 + 4 * n^2

如果问题规模 n 足够大,那么低次方的项将无足轻重,运行时间主要取决于高次方的第一项:5*n^3

随着 n 的增大,第一项的 5*n^3 中的常数 5 也无足轻重了。

所以算法 A 的运行时间 T(n) 约等于 n^3。记为:

T(n) = Θ(n^3)

Θ 的数学含义:

f(n)g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数,两个函数同阶,也就是当 n 无穷大时,f(n)/g(n) 等于某个大于0的常数 c

也可以说,存在正常量 c1c2n0,对于所有 n >= n0,有 0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)

那么可以记 f(n) = Θ(g(n))g(n)f(n) 的渐进紧确界。

3.2. 渐进符号:O

O 的数学含义:

f(n)g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数, f(n) 函数的阶不高于 g(n) 函数的阶。

也可以说,存在正常量 cn0,对于所有 n >= n0,有 0 <= f(n) <= c * g(n)

那么可以记 f(n) = O(g(n))g(n)f(n) 的渐进上界。

3.3. 渐进符号:Ω

Ω 的数学含义:

f(n)g(n) 是定义域 n 为自然数集合的函数, f(n) 函数的阶不低于 g(n) 函数的阶。

也可以说,存在正常量 cn0,对于所有 n >= n0,有 0 <= cg(n) <= f(n)

那么可以记 f(n) = Ω(g(n))g(n)f(n) 的渐进下界。

3.4. 渐进分析

上面的定义很复杂,我们可以来看图:

degree.png

n 值超过某个值时,f(n)g(n) 两条线夹在中间,那么 g(n) 就是渐进紧确界。

如果 g(n) 的线在上面,就是渐进上界。

如果 g(n) 线在下面,就是渐进下界。

我们一般会评估一个算法的渐进上界 O,因为这表示算法的最坏情况,这个上界可以十分不准确,但我们一般会评估得足够准确,比如:

设 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2,我们要求渐进上界。

那么:

f(n) = O(n^3),g(n) = n^3
f(n) = O(n^4),g(n) = n^4

两个 g(n) 都是上界,因为令 c = 5 时都存在:0 <= f(n) <= c * g(n))

我们会取乘方更小的那个,因为这个界更逼近 f(n) 本身,所以我们一般说 f(n) = O(n^3),算法的复杂度为大欧 n 的三次方,表示最坏情况。

同理,渐进下界 Ω 刚好与渐进上界相反,表示最好情况。比如还是这个假设:

设 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2,我们要求渐进下界。

那么:

f(n) = Ω(n^3),g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2),g(n) = n^2

两个 g(n) 都是下界,因为令 c =5 时都存在:0 <= cg(n) <= f(n)

我们准确评估的时候,要取乘方更大的那个,因为这个界更逼近 f(n) 本身,所以我们一般说 f(n) = Ω(n^3),算法的复杂度为大欧米伽 n 的三次方,表示最好情况。

我们发现当 f(n) = Ω(n^3) = O(n^3) 时,其实 f(n) = Θ(n)

另外两个渐进符号 οω 一般很少使用,指不那么紧密的上下界。

也就是评估的时候,不那么准确去评估,在评估最坏情况的时候使劲地往坏了评估,评估最好情况则使劲往好的评估,但是它不能刚刚好,比如上面的结果:

f(n) = O(n^3),g(n) = n^3
f(n) = O(n^4),g(n) = n^4
f(n) = Ω(n^3),g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2),g(n) = n^2

我们可以说:

f(n) = ο(n^4),g(n) = n^4  往高阶的评估,不能同阶
f(n) = ω(n^2),g(n) = n^2  往低阶的评估,不能同阶

四、总结

记号 含义 通俗理解
Θ 紧确界 相当于"="
O 上界 相当于"<="
ο 非紧的上界 相当于"<"
Ω 下界 相当于">="
ω 非紧的下界 相当于">"

我们一般用 O 渐进上界来评估一个算法的时间复杂度,表示逼近的最坏情况。其他渐进符合基本不怎么使用。

Copyright © https://github.com/hunterhug all right reserved,powered by Gitbook该文章更新于: 2019-12-19 05:29:40

results matching ""

    No results matching ""