树是一种比较高级的基础数据结构,由 n 个有限节点组成的具有层次关系的集合。

树的定义:

  1. 有节点间的层次关系,分为父节点和子节点。
  2. 有唯一一个根节点,该根节点没有父节点。
  3. 除了根节点,每个节点有且只有一个父节点。
  4. 每一个节点本身以及它的后代也是一棵树,是一个递归的结构。
  5. 没有后代的节点称为叶子节点,没有节点的树称为空树。

二叉树:每个节点最多只有两个儿子节点的树。

满二叉树:叶子节点与叶子节点之间的高度差为 0 的二叉树,即整棵树是满的,树呈满三角形结构。在国外的定义,非叶子节点儿子都是满的树就是满二叉树。我们以国内为准。

完全二叉树:完全二叉树是由满二叉树而引出来的,设二叉树的深度为 k,除第 k 层外,其他各层的节点数都达到最大值,且第 k 层所有的节点都连续集中在最左边。

树根据儿子节点的多寡,有二叉树,三叉树,四叉树等,我们这里主要介绍二叉树。

一、二叉树的数学特征

  1. 高度为 h≥0 的二叉树至少有 h+1 个结点,比如最不平衡的二叉树就是退化的线性链表结构,所有的节点都只有左儿子节点,或者所有的节点都只有右儿子节点。
  2. 高度为 h≥0 的二叉树至多有 2^h+1 个节点,比如这棵树是满二叉树。
  3. 含有 n≥1 个结点的二叉树的高度至多为 n-1,由 1 退化的线性链表可以反推。
  4. 含有 n≥1 个结点的二叉树的高度至少为 logn,由 2 满二叉树可以反推。
  5. 在二叉树的第 i 层,至多有 2^(i-1) 个节点,比如该层是满的。

二、二叉树的实现

二叉树可以使用链表来实现。如下:

// 二叉树
type TreeNode struct {
    Data  string    // 节点用来存放数据
    Left  *TreeNode // 左子树
    Right *TreeNode // 右字树
}

当然,数组也可以用来表示二叉树,一般用来表示完全二叉树。

对于一棵有 n 个节点的完全二叉树,从上到下,从左到右进行序号编号,对于任一个节点,编号 i=0 表示树根节点,编号 i 的节点的左右儿子节点编号分别为:2i+1,2i+2,父亲节点编号为:i/2,整除操作去掉小数

如图是一棵完全二叉树,数组的表示:

我们一般使用二叉树来实现查找的功能,所以树节点结构体里存放数据的 Data 字段。

三、遍历二叉树

构建一棵树后,我们希望遍历它,有四种遍历方法:

  1. 先序遍历:先访问根节点,再访问左子树,最后访问右子树。
  2. 后序遍历:先访问左子树,再访问右子树,最后访问根节点。
  3. 中序遍历:先访问左子树,再访问根节点,最后访问右子树。
  4. 层次遍历:每一层从左到右访问每一个节点。

先序,后序和中序遍历较简单,代码如下:

package main

import (
    "fmt"
)

// 二叉树
type TreeNode struct {
    Data  string    // 节点用来存放数据
    Left  *TreeNode // 左子树
    Right *TreeNode // 右字树
}

// 先序遍历
func PreOrder(tree *TreeNode) {
    if tree == nil {
        return
    }

    // 先打印根节点
    fmt.Print(tree.Data, " ")
    // 再打印左子树
    PreOrder(tree.Left)
    // 再打印右字树
    PreOrder(tree.Right)
}

// 中序遍历
func MidOrder(tree *TreeNode) {
    if tree == nil {
        return
    }

    // 先打印左子树
    MidOrder(tree.Left)
    // 再打印根节点
    fmt.Print(tree.Data, " ")
    // 再打印右字树
    MidOrder(tree.Right)
}

// 后序遍历
func PostOrder(tree *TreeNode) {
    if tree == nil {
        return
    }

    // 先打印左子树
    MidOrder(tree.Left)
    // 再打印右字树
    MidOrder(tree.Right)
    // 再打印根节点
    fmt.Print(tree.Data, " ")
}

func main() {
    t := &TreeNode{Data: "A"}
    t.Left = &TreeNode{Data: "B"}
    t.Right = &TreeNode{Data: "C"}
    t.Left.Left = &TreeNode{Data: "D"}
    t.Left.Right = &TreeNode{Data: "E"}
    t.Right.Left = &TreeNode{Data: "F"}

    fmt.Println("先序排序:")
    PreOrder(t)
    fmt.Println("\n中序排序:")
    MidOrder(t)
    fmt.Println("\n后序排序")
    PostOrder(t)
}

表示将以下结构的树进行遍历:

结果如下:

先序排序:
A B D E C F 
中序排序:
D B E A F C 
后序排序
D B E F C A

层次遍历较复杂,用到一种名叫广度遍历的方法,需要使用辅助的先进先出的队列。

  1. 先将树的根节点放入队列。
  2. 从队列里面 remove 出节点,先打印节点值,如果该节点有左子树节点,左子树入栈,如果有右子树节点,右子树入栈。
  3. 重复2,直到队列里面没有元素。

核心逻辑如下:

func LayerOrder(treeNode *TreeNode) {
    if treeNode == nil {
        return
    }

    // 新建队列
    queue := new(LinkQueue)
    // 根节点先入队
    queue.Add(treeNode)
    for queue.size > 0 {
        // 不断出队列
        element := queue.Remove()

        // 先打印节点值
        fmt.Print(element.Data, " ")

        // 左子树非空,入队列
        if element.Left != nil {
            queue.Add(element.Left)
        }

        // 右子树非空,入队列
        if element.Right != nil {
            queue.Add(element.Right)
        }
    }
}

完整代码:

package main

import (
    "fmt"
    "sync"
)

// 二叉树
type TreeNode struct {
    Data  string    // 节点用来存放数据
    Left  *TreeNode // 左子树
    Right *TreeNode // 右字树
}

func LayerOrder(treeNode *TreeNode) {
    if treeNode == nil {
        return
    }

    // 新建队列
    queue := new(LinkQueue)

    // 根节点先入队
    queue.Add(treeNode)
    for queue.size > 0 {
        // 不断出队列
        element := queue.Remove()

        // 先打印节点值
        fmt.Print(element.Data, " ")

        // 左子树非空,入队列
        if element.Left != nil {
            queue.Add(element.Left)
        }

        // 右子树非空,入队列
        if element.Right != nil {
            queue.Add(element.Right)
        }
    }
}

// 链表节点
type LinkNode struct {
    Next  *LinkNode
    Value *TreeNode
}

// 链表队列,先进先出
type LinkQueue struct {
    root *LinkNode  // 链表起点
    size int        // 队列的元素数量
    lock sync.Mutex // 为了并发安全使用的锁
}

// 入队
func (queue *LinkQueue) Add(v *TreeNode) {
    queue.lock.Lock()
    defer queue.lock.Unlock()

    // 如果栈顶为空,那么增加节点
    if queue.root == nil {
        queue.root = new(LinkNode)
        queue.root.Value = v
    } else {
        // 否则新元素插入链表的末尾
        // 新节点
        newNode := new(LinkNode)
        newNode.Value = v

        // 一直遍历到链表尾部
        nowNode := queue.root
        for nowNode.Next != nil {
            nowNode = nowNode.Next
        }

        // 新节点放在链表尾部
        nowNode.Next = newNode
    }

    // 队中元素数量+1
    queue.size = queue.size + 1
}

// 出队
func (queue *LinkQueue) Remove() *TreeNode {
    queue.lock.Lock()
    defer queue.lock.Unlock()

    // 队中元素已空
    if queue.size == 0 {
        panic("over limit")
    }

    // 顶部元素要出队
    topNode := queue.root
    v := topNode.Value

    // 将顶部元素的后继链接链上
    queue.root = topNode.Next

    // 队中元素数量-1
    queue.size = queue.size - 1

    return v
}

// 队列中元素数量
func (queue *LinkQueue) Size() int {
    return queue.size
}

func main() {
    t := &TreeNode{Data: "A"}
    t.Left = &TreeNode{Data: "B"}
    t.Right = &TreeNode{Data: "C"}
    t.Left.Left = &TreeNode{Data: "D"}
    t.Left.Right = &TreeNode{Data: "E"}
    t.Right.Left = &TreeNode{Data: "F"}

    fmt.Println("\n层次排序")
    LayerOrder(t)
}

输出:

层次排序
A B C D E F
Copyright © https://github.com/hunterhug all right reserved,powered by Gitbook该文章更新于: 2020-04-14 06:14:06

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